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土耳其商人和帽子的故事(邏輯推導) - 下載本文

土耳其商人和帽子的故事

這是著名物理學家愛因斯坦出過的一道題。

一個土耳其商人,想找一個十分聰明的助手協助他經商,有兩個人前來應聘,這個商人爲了試一試哪一個聰明些,就把兩個人帶進一間漆黑的屋子裏,他打開電燈後:“這張桌子上有五頂帽子,兩頂是紅色的,三頂是黑色的。現在,我把燈關掉,而且把帽子擺的位置弄亂,然後我們三個人每人摸一頂帽子戴在頭上,在我開燈後,請你們盡快的說出自己頭上戴的帽子是什麽顔色的。”說完之後,商人將電燈關掉,然後三人都摸了一頂帽子戴在頭上,同時商人將余下的兩頂帽子藏了起來,接著把電燈打開,這時,那兩個有應試者看到商人頭上戴的是一頂紅帽子,過了一會兒,其中一個人便喊到:“我戴的是黑帽子。” 請問這個人猜得對嗎?是怎麽推導出來的?

前面,我們提出了三種基本邏輯運算,可分別稱爲析取(∨)、合取(∧)和否定(┐)。還有兩種運算:蘊涵運算(→)和等值運算(?)。可分別由表2.1和表2.2來定義:

對于命題P與Q,“若P則Q”稱爲條件命題,記作P→Q,它的含義也規定爲複合命題┐P∨Q,即P→Q=┐P∨Q。由真值表2.1可見:在條件命題中,如果條件P爲假(0),那麽恒爲真;如果條件P爲真(1),那麽的真假決定于結論Q的真假。

因爲有定義,所以“P→Q”不是一種新的運算,但由于“若,則”的形式是人們常用的語言,所以把它當作一種重要運算,在進行推理時常常是方便的。

如果命題恒真,即P→Q=1,則稱P蘊涵Q,故也稱“→”蘊涵運算,當時,也記成,這正是我們數學書上常遇到的情形。P?Q嚴格說,不是命題,而是P與Q之間的一種關系。

對于命題P和Q,當且僅當命題P和Q真值相等時,稱爲等值(即P與Q同真假),記爲P?Q。當P?Q是真的,即P?Q=1時,也稱爲恒真命題。

我們利用上述五種運算和數學上的括號,可以構成各種符號序列,我們稱之爲公式,這裏一切公式都應滿足下述要求: (1)一切變項P,Q,R,是公式;

(2)如果P,Q,R是公式,那麽?P,PQ,PQ,PQ,PQ也是公式; (3)除由(1),(2)兩條規則建立起來的符號序列外都不是公式。

在建立的公式中,真值聯結詞按照結合力由強到弱順序排列爲┐,∧,∨,→,?:。 任何公式(複合命題)都有相應的真值形式。無論公式P,Q的真值如何,其組成的最後公式始終得到真的值,這樣的真值形式叫做重言式的真值形式,簡稱重言式。比如公式(P→Q)?┐(P∧┐Q)。它的真值表如表2.3,故此公式爲重言式。

普通邏輯中的各種複合推理形式,在命題邏輯中都可以表示爲相應的真值形式,因此可以運用真值形式來反映一個推理的形式結構。在普通邏輯中常用圖表示推理形式,用圖表示可寫成:

橫線上爲兩個前提,橫線以下是結論,前提和結論之間存在著蘊涵關系,用蘊涵式表達:蘊涵式的前件是各個前提的合取,後件則是結論,這樣這個圖式的蘊涵式是

(P→Q)∧P→Q

同時,相當于一個正確推理形式的蘊涵式還必須是一個重言式,但要注意,正確推理形式是不依賴于前提和結論的具體內容,只要蘊涵式總是真的,這個蘊涵式的真值,可由表2.4反映出來。

從表中可見,只有在(P→Q)∧P爲真的情況下,兩個前提P→Q和P才都是真的。同時Q也是真的,前提真則結論必真。這個推理形式保證了從真的前提到真的結論的過度,因此是一個正確的推理形式。

相反的,一個不正確的推理形式雖然也有一個相當的真值形式,但這樣的真值形式都不是永真的,即不是一個重言的真值形式,如推理形式: 這種推理是錯誤的,與這種推理形式相當的蘊涵式是 (P→Q)∧┐P→┐Q

這個公式的真值形式的真值表是表2.5,顯然此真值形式不是永真的。

由此可知,每一個推理形式都相當于一個真值形式,正確的推理形式相當于一個重言式;不正確的推理形式雖然也有相應的真值形式,但它不是重言式,判別一個推理形式是否正確,就要判別其相當的蘊涵式是不是一個重言式,重言式是判別一個命題表達式推理形式是不是正確的有效公式。 把命題邏輯的重言式組成一個公理系統就得到命題演算,而這就是命題邏輯的公理化,即從公理(初始命題的 重言式)出發,應用明確規定的推演規則,進而推出一系列重言式的演繹體系。

由公理去推導出其余的重言式,還要有一定的變形規則,這主要有兩條:代換規則和分離規則(又稱蘊涵原則,即從A→B的真和A的真,可以推出B的真)。 現在我們來解本節一開始提出的問題。

設P1表示“猜對的人戴紅帽子”;P2表示“猜對的人戴黑帽子”;Q1表示“另一個人戴紅帽子”;Q2表示“另一個人戴黑帽子”;R1表示“商人戴紅帽子”。 現在知道,商人頭上戴的是紅帽子,即R1爲真,又知道另一個人沒有作出斷定,即既不能斷定Q1爲真,也不能斷定Q2爲真。 根據題設條件,可得如下公式:

R1∧P1→Q2:如果商人和猜對的人戴的都是紅帽子,那麽另一個戴的就是黑帽子,因爲紅帽子只有兩頂。

R1∧Q1→P2:如果商人和另一個戴的都是紅帽子,那麽猜對的人戴的就是黑帽子。

┐P1→P2:如果猜對的人戴的不是紅帽子,那麽他戴的就是黑帽子。 ┐Q1→Q2:如果另一個人戴的不是紅帽子,那麽他戴的就是黑帽子。 推演步驟如下: 設P1

(1)P1(根據假設);(2)R1(根據題設) (3)R1∧P1(合取構成);(4)R1∧P1→Q2(根據題設) (5)Q2((3)(4)分離)。

這就是說,“另一個人戴黑帽子”這個判定是必然可以作出的,但是這與題設條件(即“另一個沒有作出判定”)相矛盾,因此,P1爲假,即┐P1爲真,故可得:

(6)┐P1;(7)┐P1→P2(根據題設);

(8)P2((6)(7)分離)。

這就是說,“猜對的人戴著黑帽子”是真的,所以猜對的人肯定的說:“我戴的是黑帽子”。

聰明的囚徒

古希臘有個國王,對處死囚徒的方法作了兩種規定:一種是砍頭,一種是絞刑。並他自恃聰明的做出一種規定:囚徒可以說一句話,並且這句話是馬上可以驗證其真假。如果囚徒說的是真話,那麽處以絞刑,如果囚徒說的是假話,那麽處以砍頭。許多囚徒或者是因爲說了假話而被砍頭或者因爲說了真話而被處以絞刑。

有一位極其聰明的囚徒,當輪到他來選擇處死方法時,他說出一句巧妙的話,結果使這個國王按照哪種方法處死他,都違背自己的決定,只得將他放了。 試問:這囚徒說的是句什麽話?

在時常的語言中,一般地講,只有陳述句才可分辨真假。凡是可以決定真假的語句叫做命題。但陳述句中有兩種形式不是命題。如陳述句“這道題很難”、“那個人很年輕”等,“很難”、“相當年輕”等這些概念沒有清晰的界限,屬于模糊命題,這類命題不屬于我們討論範圍。

還有一類,就陳述句本身而言,確實很明確,但與其他命題聯合起來,就無法判定其真假。如在一張空白的雙面卡片上,正面寫上一句:“A:這張卡片背面的句子是真的。”而在該卡片的背面寫上一句:“B:這張卡片背面的句子是假的。” 若A是真的,那麽B就是真的,即“這張卡片背面的句子是假的”爲真,這就導致句子A是假的。

若A是假的,那麽B就是假的,即“這張卡片背面的句子是假的”爲假,這就導致句子A是真的。

兩個句子都沒有談到自身,但放到一起,它們就不斷改變著它們的真實性,結果就無法判斷出任何一個句子的真假性。這不是詭辯,這是命題悖論。在日常語言活動中,留心命題邏輯這一問題的人,往往還可找到許多這樣的例子。

最典型的例子就是“說謊者悖論”:“我正說的這句話是假話”。試問這句話是否真是謊話呢?若是謊話,則它陳述的事實爲假,因而“我”說的就不是謊話;若不是謊話,則它陳述的事實爲真,因而“我”說的又是謊話。總之無法自圓其說。 又如“自謂悖論”:一個形容詞能夠形容自己,則稱爲“自謂的”,否則就是“非自謂的”。例如,“中文的”這個形容詞就是“自謂的”,因爲它不但可以形容一切用中文書寫或印刷的東西,還可以形容它自己,它自己也是“中文的”,而“英文的”這個形容詞就是“非自謂的”,因爲它本身是非英文的。現在問“非自謂的”這個形容詞是否“自謂”呢?若它是自謂的(即可以自己形容自己),則正好又與它本身的的詞義相同,按照“自謂的”的定義,它又應該是自謂的。

所謂命題悖論是:一個命題Q,如果從Q爲真,可以推出Q爲假;有從Q的否定爲真(即Q爲假),可以推出Q爲真,我們就說Q是一個命題悖論。這類悖論 往往還是與語義有關的悖論。 命題悖論是與集合悖論密切相關的,每一命題悖論可以重新組織爲一個關于集合

的悖論;反之每一集合悖論可以可以重新組織爲一個關于命題的悖論。

最初羅素爲了排除這種悖論,提出下面的觀點:語言應該層次分明,同一層次的語言不能在其自身中討論真假,建立了所謂“簡單類型論”。按照這個理論,把集合按其類型的級別加以排列,一個集合不能是低一級的任何集合的元素,這樣就把第四個問題中的羅素悖論的“一個集合是它本身的一個元素”就排除掉了,從而消除了自相矛盾的集合,這也就是在命題邏輯中規定了合格命題的法則。但羅素的這種類型悖論並沒有被大多數邏輯學者所接受,進而導致了各種公理化集合論,

聰明的囚徒所說的話,應使國王無論怎麽處置他都帶來矛盾,這句話就是“國王決定砍我的頭”。如果這和國王規定一致,是說真話,因而按國王決定的處死方法,講真話應處以絞刑。這樣就造成了國王的規定(砍頭)同國王決定的處死方法相矛盾。如果這和國王的規定不一致,是說的假話,因而按照國王決定的處死方法。講假話予以砍頭,這樣又造成了國王的規定(絞刑)同國王決定的處死方法相矛盾。國王處于進退維谷的處境,只好免于處死,將囚徒放掉。

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